В системе Maxima имеется множество встроенных функций. Для каждой встроенной функции можно получить описание в документации, содержащейся в справочной системе. Вызвать справку можно с помощью функциональной клавиши F1. Также в Maxima есть специальная функция, которая выдает информацию из документации по конкретным словам. Сокращенная версия вызова этой функции: ?? name (Рис.12). Здесь?? - это имя оператора, и аргумент нужно отделять от него пробелом. Оператор?? выдает список тех разделов помощи и имен функций, которые содержат заданный текст, после чего предлагают ввести номер того раздела или описания той функции, которые требуется посмотреть:

Рис.12. Вызов справки по интересующей команде системы Maxima

Заметим, что в системе Maxima нет четкого разграничения между операторами и функциями. Более того,каждый оператор - это на самом деле функция.

Все функции и операторы Maxima работают не только с действительными, но и комплексными числами. Сами комплексные числа записываются в алгебраической форме, с мнимой единицей, обозначенной через %i; то есть в виде a+b*%i, где а и b - соответственно действительная и мнимая части числа.

Рассмотримсинтаксис базовых функций системы Maxima.

1. Арифметические операторы: + , -, *, /, -->. Пример:

3. Логические операторы: and, or, not. Пример:

4. Функция нахождения факториала числа: !

Факториал задан в наиболее общем виде и представляет собой, по сути, гамма-функцию (точнее, x! = gamma(x+1)), то есть определен на множестве всех комплексных чисел, кроме отрицательных целых. Факториал от натурального числа (и нуля) автоматически упрощается до натурального же числа.

5. Функция нахождения полуфакториала чила: !! (произведение всех четных (для четного операнда) или нечетных чисел, меньших либо равных данному).

6. Функция отрицания синтаксического равенства: # Запись a#b эквивалентна not a=b.Пример:

7. Функция нахождения модуля числа х: abs(x) Модуль определен для всех комплексных чисел. Пример:

8. Функция, возвращающая знак числа х: signum(x)

9. Функции, возвращающие наибольшее и наименьшее значения из заданных действительных чисел: max(x1,...,xn) и min(x1,...,xn).

10. Некоторые встроенные математические функции:

sqrt (x)	Квадратный корень из x
acos (x)	Арккосинус аргумента х
acosh (x)	Гиперболический арккосинус аргумента х
acot (x)	Арккотангенс аргумента х
acoth (x)	Гиперболический арккотангенс аргумента х
acsc (x)	Арккосеканс аргумента х
acsch (x)	Гиперболический арккосеканс аргумента х
asec (x)	Арксеканс аргумента х
asech (x)	Гиперболический арксеканс аргумента х
asin (x)	Арксинус аргумента х
asinh (x)	Гиперболический арксинус аргумента х
atan (x)	Арктангенс аргумента х
atanh (x)	Гиперболический арктангенс аргумента х
cosh (x)	Гиперболический косинус аргумента х
coth (x)	Гиперболический котангенс аргумента х
csc (x)	Косеканс аргумента х
csch (x)	Гиперболический косеканс аргумента х
sec (x)	Секанс аргумента х
sech (x)	Гиперболический секанс аргумента х
sin (x)	Синус аргумента х
sinh (x)	Гиперболический синус аргумента х
tan (x)	Тангенс аргумента х
tanh (x)	Гиперболический тангенс аргумента х
log (x)	Натуральный логарифм х
exp (x)	Экспонента х

11. Функции для работы с матрицами:

determinant – нахождение определителя матрицы:

eigenvalues – нахождение собственных значений матрицы:

invert – получение обратной матрицы:

minor – определяет минор матрицы. Первый аргумент – матрица, второй и

третий – индексы строки и столбца соответственно:

rank – ранг матрицы:

submatrix – возвращает матрицу, полученную из исходной удалением

соответствующих строк и (или) столбцов. В качестве параметров следуют

номера удаляемых строк, исходная матрица, номера удаляемых столбцов.

transpose – транспонирование матрицы:

В языке системы Maxima заложены основные исполнимые операторы, которые есть в любом языке программирования. Рассмотрим их.

Операторы присваивания значений (именования выражений).

1. Оператор «:» (оператор задания значения переменной).

2.Оператор «:=» (оператор задания функции пользователя).

3.Расширенные варианты операторов присваивания и задания функции, обозначаемые соответственно через:: и::=.

Использование оператора задания функции пользователя значительно облегчает работу с ней, поскольку к ней можно обращаться по имени и легко и удобно вычислять значения функции в заданных точках.

Пример: найдем значение функции f (x,y )=cosx + siny в точке

Оператор цикла. Оператор цикла может задаваться несколькими способами. Способ задания зависит от того, известно ли заранее сколько раз необходимо выполнить тело цикла.

Пример: задание цикла для вывода значений переменной а в диапазоне от -3 до 10 с шагом 5:

Следующей важной возможностью системы Maxima являетсяработа со списками и массивами.

Для формирования списков используется команда makelist. Например, с помощью команды

мы сформировали список с именем x, состоящий из десяти элементов, значения которых находятся по формуле .

Для формирования массивов используется команда array. Например с помощью команды,

мы сформировали двумерный массив A, состоящий из 10 строк и 5 столбцов. Для заполнения массива элементами воспользуемся циклом с параметром. Например,

Для вывода элементов массива на экран можно воспользоваться командой:

Массив можно формировать и без предварительного объявления. В следующем примере мы сформировали одномерный массив x, состоящий из 5 элементов, значения которых вычисляются по формуле x(i )=sini

Неудобство работы с массивами заключается в том, что вывод значений элементов массива осуществляется в столбец. Гораздо удобнее, если значения массива (двумерного) выводятся в виде матрицы. Для этих целей можно воспользоваться командой genmatrix. Например, для формирования двумерного массива (матрицы) следует задать команду в следующем виде:

Выведем полученный массив:

6. Простейшие преобразования выражений.

По умолчанию в системе Maxima является активной функция автоупрощения, т.е. система старается упростить вводимое выражение сама без какой-либо команды.

Пример. Пусть требуется найти значение следующего числового выражения:

Зададим выражение по правилам языка системы Maxima.

Как видим, система в ответ вывела значение выражения, хотя мы не задали никакой команды.

Как же заставить систему вывести не результат, а само выражение? Для этого функцию упрощения надо отключить с помощью команды simp: false$. Тогда получим:

Для того чтобы активировать функцию упрощения, надо задать команду simp:true$. Функция автоупрощения может работать как с числовыми, так и с некоторыми не числовыми выражениями. Например,

При вводе мы можем обращаться к любой из предыдущих ячеек по ее имени, подставляя его в любые выражения. Кроме того, последняя ячейка вывода обозначается через %, а последняя ячейка ввода - через _. Это позволяет обращаться к последнему результату, не отвлекаясь на то, каков его номер. Но такими обращениями к ячейкам злоупотреблять не надо, поскольку при переоценивании всего документа или его отдельных ячеек ввода может произойти разногласие между номерами ячеек.

Пример. Найти значение выражения и увеличить полученный результат в 5 раз.

Желательно вместо имен ячеек использовать переменные и присваивать их имена любым выражениям. В этом случае в виде значения переменной может выступать любое математическое выражение.

Значения имен переменных сохраняются на протяжении всей работы с документом. Напомним, что если необходимо снять определение с переменной, то это можно сделать с помощью функции kill(name), где name - имя уничтожаемого выражения; причем это может быть как имя, назначенное вами, так и любая ячейка ввода или вывода. Точно так же можно очистить всю память и освободить все имена, введя команду kill(all) (или выбрать меню Махта->Очиститъ память (Clear Memory)). В этом случае очистятся в том числе и все ячейки ввода-вывода, и их нумерация опять начнется с единицы.

Функция автоупрощения далеко не всегда способна упростить выражение. В дополнение к ней имеется целый ряд команд, которые предназначены для работы с выражениями: рациональными и иррациональными. Рассмотрим некоторые из них.

rat (выражение) - преобразовывает рациональное выражение к канонической форме: раскрывает все скобки, затем приводит все к общему знаменателю, суммирует и сокращает; приводит все числа в конечной десятичной записи к рациональным. Каноническая форма автоматически «отменяется» в случае любых преобразований, не являющихся рациональными

ratsimp (выражение) - упрощает выражение за счет рациональных преобразований. Работает в том числе и «вглубь», то есть иррациональные части выражения не рассматриваются как атомарные, а упрощаются, в том числе, и все рациональные элементы внутри них

fullratsimp(выражение) - функция упрощения рационального выражения методом последовательного применения к переданному выражению функции ratsimp(). За счет этого функция работает несколько медленнее, чем ratsimp(), зато дает более надежный результат.

expand (выражение) - раскрывает скобки в выражении на всех уровнях вложенности. В отличии от функции ratexpand(), не приводит дроби-слагаемые к общему знаменателю.

radcan(выражение) - функция упрощения логарифмических, экспоненциальных функций и степенных с нецелыми рациональными показателями, то есть корней (радикалов).

Часто при попытке упрощения выражения в Maxima может происходить на самом деле только его усложнение. Увеличение результата может происходить из-за того, что неизвестно, какие значения могут принимать переменные, входящие в выражение. Чтобы этого избежать, следует накладывать ограничения на значения, которые может принимать переменная. Делается это с помощью функции assume(условие). Поэтому в некоторых случаях наилучшего результата можно добиться, комбинируя radcan() с ratsimp() или fullratsimp().

Система компьютерной математики Maxima — настоящий ветеран среди программ этого
класса. Она старше многих своих известных коммерческих собратьев по крайней мере
на два десятка лет. Первоначально носившая имя Macsyma, она была создана в конце
1960-х годов в знаменитом Массачусетском технологическом институте и почти 20
лет (с 1982 по 2001) поддерживалась Биллом Шелтером (William Schelter), благодаря
которому и приобрела свои замечательные качества и известность в научном мире.
Подробности по истории системы, инсталляционный модуль (размером всего в 10 MB),
документацию, исходный код и другую сопутствующую информацию можно найти на Web-узле
пакета .
Текущая версия (5.9.0) работает под управлением Windows и Linux.

Несмотря на скромные размеры, Maxima — высокоинтеллектуальный продукт, способный решать сложные аналитические задачи. Как и большинство систем компьютерной математики, она является командным интерпретатором, взаимодействующим с пользователем по принципу "вопрос — ответ". Поэтому рабочая область системы представляет собой последовательность ячеек ввода/вывода (рис. 1), маркированных меткой (С — для ввода пользователя, D — для результата) и номером. Такой способ обозначения обеспечивает удобный механизм ссылок, позволяющий для обращения к одному из предыдущих результатов ввести только имя нужной ячейки.

Численные операции

Рис. 1

С какими бы выражениями ни работала Maxima,
она всегда стремится к представлению результатов в точной аналитической форме.
Это в полной мере относится и к численным расчетам. Например, если ввести в командной
строке выражение 1/2+1/3 , то результатом будет 5/6 . Для того чтобы
получить значение в виде числа с плавающей точкой, необходимо указать это явно.
Простейший способ состоит в задании специального дескриптора numer через
запятую после введенного выражения.

Для расчетов с высокой точностью Maxima поддерживает специальные операторы, позволяющие вычислить любое значение с произвольной разрядной сеткой (в пределах, естественно, аппаратных возможностей). Это относится и к целым числам: их величина в системе программно не ограничена. К тому же Maxima имеет очень приличную скорость работы с арифметикой высокой точности, что дает возможность проводить вычисления с целыми числами в десятки и сотни тысяч разрядов с производительностью на уровне лучших коммерческих систем.

Отметим, что Maxima взвешенно подходит к регистру вводимых выражений. Если их вид близок к имени встроенной функции, программа использует эту функцию. Согласно данному правилу Sin , sin и SIN обозначают одно и то же. Вместе с тем пользовательские переменные и функции чувствительны к регистру — X и x могут обозначать разные объекты.

Система также поддерживает комплексную арифметику и ряд известных математических констант.

Аналитические операции

Рис. 2

Способность к сложным аналитическим операциям
и преобразованиям, безусловно, стала главной чертой продукта, обеспечившей успех
Maxima в среде специалистов. Сюда входят стандартные операции анализа (дифференцирование,
интегрирование, вычисление пределов), представление выражений в развернутой форме,
разложение функций в ряды, упрощения, преобразования, подстановки и т. п. Причем
данная функциональность достаточно гибка для проведения серьезных научных исследований.
Так, можно находить частные и обыкновенные производные любого порядка, интегралы
бывают как обыкновенными, так и кратными, в качестве границ интегрирования допускается
бесконечность и т. д. Как всегда, программа будет стремиться представить все вычисленные
значения в замкнутой (точной) форме.

В случае если для введенного выражения нельзя получить однозначный результат, программа практически на естественном (английском) языке задаст наводящие вопросы. К примеру, при попытке найти интеграл от функции x n Maxima уточнит, не равно ли n+1 нулю (как известно, от этого существенно зависит результат). Впрочем, таких вопросов можно избежать, если заранее с помощью специальных операторов указать область изменения используемых параметров и переменных.

Аналитический аппарат также поддерживает алгебраические операции с полиномами (деление двух полиномов, вычисление наибольшего общего делителя, разложение на множители) и тригонометрическими выражениями. Для практических приложений большую роль играют заложенные в систему инструменты решения уравнений и систем различных типов — алгебраических, трансцендентных и дифференциальных.

Операции линейной алгебры

В Maxima реализован весьма совершенный механизм векторно-матричных операций,
позволяющий проводить сложные алгебраические вычисления. Матрицы вводятся универсальным
оператором matrix , затем к ним применимы обычные линейные операции — сложение,
вычитание, умножение на скаляр (для их записи используют естественную математическую
нотацию вроде A+B ), а также транспонирование, обращение, вычисление определителей,
спектральных характеристик и пр.

Графические возможности

Рис. 3

Современная система компьютерной математики
универсального типа обязана обладать развитыми возможностями визуализации данных.
Имеются они и в Maxima. Графики в системе строятся с помощью двух функций — PLOT2D
(двумерные, рис. 2) и PLOT3D (трехмерные, рис. 3). Несмотря на этот относительно
небогатый выбор, названные инструменты позволяют выводить графики разных типов
на плоскости и в пространстве с достаточно тонкими настройками — посредством
специальных операторов или аргументов функций задаются количество узлов сетки,
на которой строится требуемый график, диапазоны данных, цветовые и другие характеристики.
Кроме того, можно воспользоваться интерактивными настройками для быстрого изменения
толщины линий, поворота трехмерной поверхности и т. д. Выбор форматов экспорта
Maxima весьма узок: рисунки в программе сохраняются, по сути, только в PostScript.
В целом же визуальные инструменты системы относительно скромны, хотя и дают возможность
получить качественные графики некоторых типов.

Средства программирования

Как и всякая система компьютерной математики, Maxima позволяет создавать
сложные программы и использовать их в задачах, решение которых с помощью командной
строки может оказаться сложным и неэффективным.

В самом простом случае пользовательская функция определяется прямо в командной строке

MyFunc(x,y):=x^2+y^2;

Затем MyFunc можно применять наряду со встроенными. Конечно же, система поддерживает и более сложные конструкции. В теле функции допускаются операторы ветвления, циклов, ввода/вывода и т. д. Язык программирования в Maxima имеет некоторые особенности, важнейшей из которых является то, что число аргументов функции не обязано быть фиксированным. Другая состоит в чрезвычайно гибких средствах для работы с массивами, которые редко встретишь не только в традиционных языках, но и специализированных системах, в том числе СКМ. Вот несколько примеров, заимствованных из одного руководства (двоеточие в Maxima означает присваивание):

a:4*u; a:%PI; a[x]:mystery;

Все операторы корректны и задают в совокупности массив, индексами которого служат числа 4 , 22/7 и строка "x" , а значениями элементов — выражение 4*u , число π (в Maxima оно записывается как %PI) и строка символов "mystery" . Таким образом, как элементом массива, так и его индексом может выступать практически любое выражение. Оригинальные свойства Maxima вовсе не ограничиваются этими особенностями (например, поддерживаются даже массивы функций), но мы не будем останавливаться на деталях.

Вообще, Maxima написана на языке Lisp и непосредственно поддерживает многие его команды. Можно сказать, что Lisp является ядром системы, и к нему допускается обращаться при "низкоуровневом" программировании. Впрочем, в большинстве случаев этого не требуется. Maxima предоставляет достаточное количество уже готовых средств, использовать которые значительно проще, чем Lisp-операторы.

При необходимости программы сохраняются во внешних файлах. Команды записываются в том же виде, в каком они вводятся в систему, имеются лишь некоторые особенности для оформления функций.

Забота о пользователе

Кроме документации, доступной на Web-узле продукта, в комплект поставки входят введение в Maxima и учебник по системе (оба в формате HTML) — детальное описание, достаточное для углубленного ознакомления со всеми ее возможностями. Однако во время сеанса работы с системой нередко необходимо получить оперативную справку. Для этого Maxima предоставляет функцию DESCRIBE() , которая выводит подробные сведения об интересующем пользователя операторе (который передается ей в качестве аргумента). Не беда, если вы не помните его полный синтаксис, введите несколько первых букв названия — и Maxima выдаст все доступные имена, начинающиеся с данной комбинации символов. Если же этих сведений окажется недостаточно, то можно воспользоваться функцией EXAMPLE() , которая предложит характерные примеры. К функциям этого же ряда принадлежит DEMO() , выполняющая программы из демонстрационных файлов, поставляемых с системой. Хотелось бы отметить такую особенность системы, как возможность представления результатов вычислений в формате TeX с помощью функции, которая так и называется — TEX() .

Выводы

Надеемся, что после этого небольшого материала у читателей все же сложилось
представление о Maxima как о действительно профессиональной системе, предназначенной
для решения сложных численных и аналитических задач, а также графического представления
данных. Особенно, как было отмечено вначале, программа сильна в аналитических
расчетах и арифметике высокой точности. Конечно, Maxima далеко не совершенна,
и по многим аспектам не дотягивает до коммерческих продуктов вроде Maple и Mathematica.
Однако это не умаляет ее достоинств — Maxima вполне можно использовать и в учебных
целях, и в качестве платформы для вполне серьезных научных разработок.

После запуска Maxima появляется окно программы, в верхней графической части окна интерфейса указано, какая загружена версия. Попробуем набрать несколько команд. Разделителем команд является символ “ ; ” (в ранних версиях Maxima и некоторых ее оболочках наличие точки с запятой после каждой команды строго обязательно, поэтому рекомендуется добавлять; после каждой команды).

После ввода команды необходимо нажать клавиши Shift и Enter для ее обработки и вывода результата. После ввода каждой команде присваивается порядковый номер (%i1), (%i2), (%i3) и т.д. Результаты вычислений имеют соответственно порядковый номер (%o1), (%o2) и т. д. Где "i" -сокращение от англ. input (ввод), а "o" - англ. output (вывод). Это позволяет при дальнейшей записи команд сослаться на ранее записанные, например (%i1)+(%i2) будет означать добавление к выражению первой команды выражения второй с последующим вычислением результата. Также можно использовать и номера результатов вычислений, например, таким образом (%o1)*(%o2). maxima математика график функция

Используемые обозначения для ввода команд. Ввод числовой информации

Правила ввода чисел в Maxima точно такие, как и для многих других подобных программ:

• * Целая и дробная часть десятичных дробей разделяются символом точка.
• * Перед отрицательными числами ставится знак минус.
• * Числитель и знаменатель обыкновенных дробей разделяется при помощи символа / (прямой слеш).

Обратите внимание, что если в результате выполнения операции получается некоторое символьное выражение, а необходимо получить конкретное числовое значение в виде десятичной дроби, то решить эту задачу позволит применение оператора numer. В частности он позволяет перейти от обыкновенных дробей к десятичным.

Константы

В Maxima для удобства вычислений есть ряд встроенных констант:

Арифметические операции

Для обозначения арифметических операций в Maxima используются математические знаки: «+» - сложение, «-» - вычитание, «*» - умножение, «/»- деление.

Возведение в степень можно обозначать тремя способами: ^ , ^^ , **.

Извлечение корня степени n записывают, как степень ^^(1/n ).

Напомним еще одну встроенную в Maxima полезную операцию - нахождение факториала числа. Эта операция обозначается восклицательным знаком.

Например, 6!=1. 2. 3. 4. 5. 6=120.

Для увеличения приоритета операции, как и в математике, при записи команд для Maxima используют круглые () скобки.

Переменные

Для хранения результатов промежуточных расчетов применяются переменные. Заметим, что при вводе названий переменных, функций и констант важен регистр букв, так переменные x и X - это две разные переменные. Присваивание значения переменной осуществляется с использованием символа

: (двоеточие), Например, x : 5- «переменной х присвоено значение 5» или b: a^2+3 - «переменная b будет иметь значение равное а2+3 ». -

Если необходимо удалить значение переменной (очистить ее), то применяется метод kill:

kill(x ) - удалить значение переменной x ;

kill(all) - удалить значения всех используемых ранее переменных.

Кроме того, kill начинает новую нумерацию для исполняемых команд.

Математические функции

В Maxima имеется достаточно большой набор встроенных атематических функций. Для записи функции необходимо указать ее название, а затем, в круглых скобках записать через запятую значения аргументов.

Например, sin(x );

Следует иметь в виду, что некоторые названия функций отличаются от названий, используемых в отечественной литературе:

	Обозначение
Тригонометрические	sin(x) (синус), cos(x) (косинус), tan(x) (тангенс), cot(x) (котангенс), sec(x) (секанс,), csc(x) (косеканс,).
Обратные тригонометрические	asin(x) (арксинус), acos(x) (арккосинус), atan(x) (арктангенс), acot(x) (арккотангенс).
Гиперболические	sinh(x) (гиперболический синус), cosh(x) (гиперболический косинус), tanh(x) (гиперболический тангенс), coth(x) (гиперболический котангенс), sech(x) (гиперболический секанс), csch(x) (гиперболический косеканс).
Натуральный логарифм, Остаток от деления Квадратный корень
Минимальный элемент из списка
Максимальный элемент из списка

Пользовательские функции

Пользователь может задать собственные функции. Для этого сначала указывается название функции, в скобках перечисляются названия аргументов, после знаков:= (двоеточие и равно) следует описание функции. После задания пользовательская функция вызывается точно так, как и встроенные функции Maxima .

Так как в этом цикле статей речь пойдет о математической программе для символьных вычислений, для начала пару слов о том, что из себя представляют эти самые символьные или, как их еще называют, аналитические вычисления, в отличие от численных расчетов. Компьютеры, как известно, оперируют с числами (целыми и с плавающей запятой). К примеру, решения уравнения x 2 = 2 x + 1 можно получить как −0.41421356 и 2.41421356, а 3 x = 1 - как 0.33333333. А ведь хотелось бы увидеть не приближенную цифровую запись, а точную величину, т. е. 1±√2 в первом случае и 1/3 во втором. С этого простейшего примера и начинается разница между численными и символьными вычислениями. Но кроме этого, есть еще задачи, которые вообще невозможно решить численно. Например, параметрические уравнения, где в виде решения нужно выразить неизвестное через параметр; или нахождение производной от функции; да практически любую достаточно общую задачу можно решить только в символьном виде. Поэтому неудивительно, что и для такого класса задач появились компьютерные программы, оперирующие уже не только числами, а почти любыми математическими объектами, от векторов до тензоров, от функций до интегро-дифференциальных уравнений и т. д.

Максима в науке и образовании

Среди математического ПО для аналитических (символьных) вычислений наиболее широко известно коммерческое (Maple , Mathematica ); это очень мощный инструмент для ученого или преподавателя, аспиранта или студента, позволяющий автоматизировать наиболее рутинную и требующую повышенного внимания часть работы, оперирующий при этом аналитической записью данных, т. е. фактически математическими формулами. Такую программу можно назвать средой программирования, с той разницей, что в качестве элементов языка программирования выступают привычные человеку математические обозначения.

Программа, которая стала темой статьи, работает на тех же принципах и предоставляет похожий функционал; самое радикальное ее отличие - то, что она не является ни коммерческой, ни закрытой. Другими словами, речь идет о свободной программе. На самом деле использование свободного ПО более естественно для фундаментальной науки, нежели коммерческого, так как модель, которая используется в свободном ПО - это модель открытости и общедоступности всех наработок. Очевидно, эти же свойства присущи и результатам научной деятельности. Используя такую схожесть подходов, можно фактически рассматривать расширения функционала свободных программ или дополнительные библиотеки, которые могут создаваться для своих нужд в процессе научных исследований, как неотъемлемую часть результатов таких исследований. И эти результаты могут использоваться и распространяться на усмотрение пользователя без оглядки на ограничения, налагаемые лицензиями исходного ПО. В случае же коммерческого ПО, которое находится в собственности его производителя, такого рода свободы значительно ограничены, начиная от невозможности свободно (и законно) передавать само такое ПО вместе с наработками и вплоть до возможных патентных исков от компании-разработчика ПО в случае распространения самодельных дополнительных библиотек к нему.

С другой стороны, основное направление, кроме научных разработок, где такие программы востребованы - это высшее образование; а использование для учебных нужд именно свободного ПО - это реальная возможность и для вуза, и для студентов и преподавателей иметь в своем распоряжении легальные копии такого ПО без больших, и даже сколь-нибудь существенных, денежных затрат.

Эта статья открывает цикл, посвященный свободной программе аналитических вычислений Maxima . Этим циклом я постараюсь дать вам наиболее полное впечатление о программе: он будет посвящен как принципам и основам работы с Maxima, так и описанию более широких ее возможностей и практическим примерам.

Немного истории

История проекта, известного ныне под именем Maxima, началась еще в конце 60-х годов в легендарном MIT (Massachusetts Institute of Technology - Массачусетский Технологический институт), когда в рамках существовавшего в те годы большого проекта MAC началась работа над программой символьных вычислений, которая получила имя Macsyma (от MAC Symbolic MAnipulation). Архитектура системы была разработана к июлю 1968 г., непосредственно программирование началось в июле 1969. в качестве языка для разработки системы был выбран Lisp, и история показала, насколько это был правильный выбор: из существующих в то время языков программирования он единственный продолжает развиваться и сейчас - спустя почти полвека после старта проекта. Принципы, положенные в основу проекта, позднее были заимствованы наиболее активно развивающимися ныне коммерческими программами - Mathematica и Maple; таким образом, Macsyma фактически стала родоначальником всего направления программ символьной математики. Естественно, Macsyma была закрытым коммерческим проектом; его финансировали государственные и частные организации, среди которых были вошедшее в историю ARPA (Advanced Research Projects Agency; помните ARPAnet - предок интернета?), Энергетический и Оборонный Департаменты США (Departments of Energy & Defence, DOE and DOD). Проект активно развивался, а организации, контролирующие его, менялись не раз, как это всегда бывает с долгоживущими закрытыми проектами. в 1982 году профессор уильям Шелтер (William Schelter) начал разрабатывать свою версию на основе этого же кода, под названием Maxima. в 1998 году Шелтеру удалось получить от DOE права на публикацию кода по лицензии GPL. Первоначальный проект Macsyma прекратил свое существование в 1999 году. Уильям Шелтер продолжал заниматься разработкой Maxima вплоть до своей смерти в 2001 году. Но, что характерно для открытого ПО, проект не умер вместе со своим автором и куратором. Сейчас проект продолжает активно развиваться, и участие в нем является лучшей визитной карточкой для математиков и программистов всего мира.

Пару слов о программе

На данный момент Maxima выпускается под две платформы: Unix-совместимые системы, т. е. Linux и *BSD, и MS Windows. Я, конечно же, буду вести речь о Linux-версии.

Сама по себе Maxima - консольная программа, и все математические формулы отрисовывает обычными текстовыми символами. В этом есть как минимум два плюса. С одной стороны, саму Maxima можно использовать как ядро, надстраивая поверх нее графические интерфейсы на любой вкус. Их на сегодняшний день существует немало; в этот раз я остановлюсь на двух самых популярных (см. врезку) - и наиболее наглядных и удобных в работе, а об остальных поговорим в следующих выпусках; они тоже по-своему интересны, хотя более специфичны.

С другой стороны, сама по себе, без каких-либо интерфейсных надстроек, Maxima нетребовательна к железу и может работать на таких компьютерах, которые сейчас и за компьютеры уже никто не считает (это может оказаться актуальным, к примеру, для вуза или научной лаборатории, у которых денег на обновление парка машин скорее всего нет, а потребность в ПО для символьных вычислений возникнуть может).

Имена функций и переменных в Максиме чувствительны к регистру, то есть прописные и строчные буквы в них различаются. Это не будет в новинку любому, кто уже имел дело с POSIX-совместимыми системами или с такими языками программирования, как, скажем, C или Perl. Удобно это и с точки зрения математика, для которого тоже привычно, что заглавными и строчными буквами могут обозначаться разные объекты (например, множества и их элементы, соответственно).

Для того, чтобы начать работать с программой, вам понадобится пакет Maxima; если в стандартных репозитариях вашего дистрибутива его не окажется, то взять его можно на сайте проекта, адрес которого приведен во врезке.

Принципы работы с программой не зависят от того, какой интерфейс к ней вы выберете, поэтому я постараюсь Максимально абстрагироваться от конкретного интерфейса, ограничиваясь лишь небольшими комментариями в тех случаях, когда они ведут себя по-разному.

На данный момент последняя версия программы - 5.9.3, именно о ней я и буду говорить; если в вашем дистрибутиве пока присутствует более старая версия, вы в принципе можете использовать ее: и актуальная еще несколько месяцев назад 5.9.2, и вышедшая в конце прошлого года 5.9.1 не имеют с нынешней принципиальных различий.

Графические интерфейсы к Максиме

С точки зрения ознакомления с самой Maxima наибольший интерес представляют два интерфейса.

Первый - это отдельная самостоятельная графическая программа по имени . Она, как и сама Maxima, помимо Linux/*BSD существует еще и в версии для MS Windows. В wxMaxima вы вводите формулы в текстовом виде, а вывод Максимы отображается графически, привычными математическими символами. Кроме того, большой упор здесь сделан на удобство ввода: командная строка отделена от окна ввода-вывода, а дополнительные кнопки и система меню позволяют вводить команды не только в текстовом, но и в диалоговом режиме. Так называемое «автодополнение» в командной строке на самом деле с таковым имеет лишь то сходство, что вызывается клавишей « Tab ». Ведет же оно себя, к сожалению, всего лишь как умная история команд, т. е. вызывает ту команду из уже введенных в этой сессии, которая начинается с заданных в командной строке символов, но не дополняет до имен команд и их параметров. Таким образом, этот интерфейс наиболее удобен в том случае, когда вам нужно много вычислять и видеть результаты на экране; и еще, возможно, в том случае, если вы не очень любите вводить все команды с клавиатуры. Кроме того, wxMaxima предоставляет удобный интерфейс к документации по системе; хотя, так как документация поставляется в формате html, вместо этого можно использовать обычный браузер.

Второй достаточно интересный интерфейс к Maxima - это дополнительный режим в редакторе . Хотя этот редактор имеет общее историческое прошлое с широко известным Emacs, что явствует из названия, но практического сходства между ними мало. TeXmacs разрабатывается для визуального редактирования текстов научной тематики, при котором вы видите на экране редактируемый текст практически в том же виде, в котором он будет распечатан. В частности, он имеет так называемый математический режим ввода, очень удобный для работы с самыми разнообразными формулами, и умеет импортировать/экспортировать текст в LaTeX и XML/HTML. Именно возможностями по работе с формулами пользуется Maxima, вызванная из TeXmacs’а. Фактически, формулы отображаются в привычной математической нотации, но при этом их можно редактировать и копировать в другие документы наподобие обыкновенного текста. Maxima-сессия вызывается из меню: «вставить → Сессия → Maxima », при этом появляется дополнительное меню с командами Максимы. После запуска сессии можно уже внутри нее перейти в математический режим ввода (меню режимов ввода вызывается первой кнопкой на панели ввода) и при вводе также использовать элементы математической нотации. Этот интерфейс будет наиболее удобен тем, кто хочет использовать результаты вычислений в своих текстах и любит редактировать их в визуальном режиме.

Приступаем к работе

После запуска Maxima-сессии мы видим перед собой такие строки:

Maxima restarted. (%i1)

Первая - это сообщение о том, что ядро Максимы только что запустилось (вместо нее, в зависимости от версии и конкретной сборки, может выводиться краткая информация о программе); вторая - приглашение к вводу первой команды. Команда в Максиме - это любая комбинация математических выражений и встроенных функций, завершенная, в простейшем случае, точкой с запятой. После ввода команды и нажатия « Enter » Maxima выведет результат и будет ожидать следующей команды:

Для арифметических действий используются традиционные обозначения: - , + , * , / ; ** или ^ для возведения в степень, sqrt() для квадратного корня.

Если для каких-то обозначений будет неочевидно, как записать их в строку, я буду пояснять это по ходу изложения.

Как видите, каждая ячейка имеет свою метку; эта метка - заключенное в скобки имя ячейки. Ячейки ввода именуются как %i с номером (i от input - ввод), ячейки вывода - как %o с соответствующим номером (o от output - вывод). Со знака % начинаются все встроенные служебные имена: чтобы, с одной стороны сделать их достаточно короткими и удобными в использовании, а с другой - избежать возможных накладок с пользовательскими именами, которые тоже часто удобно делать короткими. Благодаря такому единообразию вам не придется запоминать, как часто бывает в других системах, какие из таких коротких и удобных имен зарезервированы программой, а какие вы можете использовать для своих нужд. К примеру, внутренними именами %e и %pi обозначены общеизвестные математические постоянные; а через %c с номером обозначаются константы, используемые при интегрировании, для которых использование буквы «c» традиционно в математике.

При вводе мы можем обращаться к любой из предыдущих ячеек по ее имени, подставляя его в любые выражения. Кроме того последняя ячейка вывода обозначается через % , а последняя ячейка ввода - через _ . Это позволяет обращаться к последнему результату, не отвлекаясь на то, каков его номер.

Здесь %+47/59 - то же самое, что %o1+47/59 .

Вывод результата вычисления не всегда нужен на экране; его можно заглушить, завершив команду символом $ вместо; . Заглушенный результат при этом все равно вычисляется; как видите, в этом примере ячейки %o1 и %o2 доступны, хотя и не показаны (к ячейке %o2 обращение идет через символ % , смысл которого расшифрован выше):

Каждую следующую команду не обязательно писать с новой строки; если ввести несколько команд в одну строчку, каждой из них все равно будет соответствовать свое имя ячейки. К примеру, здесь в строке после метки %i1 введены ячейки от %i1 до %i4 ; в ячейке %i3 используются %i1 и %i2 (обозначенная как _ - предыдущий ввод):

В wxMaxima и TeXmacs последнюю или единственную команду в строке можно не снабжать завершающим символом - это сработает так же, как если бы она была завершена; , т. е. вывод заглушен не будет. В дальнейших примерах я часто буду опускать; . Если вы выберете другой интерфейс, не забывайте ее добавлять.

Помимо использования имен ячеек, мы, естественно, можем и сами давать имена любым выражениям. По-другому можно сказать, что мы присваиваем значения переменным, с той разницей, что в виде значения такой переменной может выступать любое математическое выражение. Делается это с помощью двоеточия - знак равенства оставлен уравнениям, которые, учитывая общий математический контекст записи, проще и привычнее так читаются. И к тому же, так как основной конек Максимы - символьная запись и аналитические вычисления, уравнения достаточно часто используются. Например:

В каком-то смысле двоеточие даже нагляднее в таком контексте, чем знак равенства: это можно понимать так, что мы задаем некое обозначение, а затем через двоеточие расшифровываем, что именно оно обозначает. После того, как выражение поименовано, мы в любой момент можем вызвать его по имени:

Любое имя можно очистить от присвоенного ему выражения функцией kill() , и освободить занимаемую этим выражением память. Для этого нужно просто набрать kill(name) , где name - имя уничтожаемого выражения; причем это может быть как имя, назначенное вами, так и любая ячейка ввода или вывода. Точно так же можно очистить разом всю память и освободить все имена, введя kill(all) . В этом случае очистятся в том числе и все ячейки ввода-вывода, и их нумерация опять начнется с единицы. В дальнейшем, если по контексту будет иметься в виду логическое продолжение предыдущих строк ввода-вывода, я буду продолжать нумерацию (этим приемом я уже воспользовался выше). Когда же новый «сеанс» будет никак не связан с предыдущим, буду начинать нумерацию заново; это будет косвенным указанием сделать « kill(all) », если вы будете набирать примеры в Maxima, так как имена переменных и ячеек в таких «сеансах» могут повторяться.

Доступ к документации Максимы

В примерах выше мы воспользовались двумя встроенными функциями. Как нетрудно догадаться из контекста, solve - это функция решения уравнения, а diff - функция дифференцирования. Практически весь функционал Maxima реализован через такие встроенные функции. Функция в Maxima может иметь переменное число аргументов. Например, функция solve , которую мы использовали с одним аргументом, чаще вызывается с двумя аргументами. Первый задает уравнение или функцию, чьи корни надо найти; второй - переменную, относительно которой нужно решать уравнение:

Если формула, задающая решаемое уравнение, содержит только один символ, как в предыдущем примере, то второй аргумент можно опустить, так как выбор, относительно чего нужно решать уравнение, все равно однозначен.

Вторая функция из наших новых знакомых - diff - также может принимать один аргумент; в этом случае она находит дифференциал заданного выражения:

Через del(x) и del(y) здесь обозначены дифференциалы соответствующих символов.

Для каждой встроенной функции есть описание в документации по Maxima. Оно содержит сведения о том, какие аргументы и в каких вариантах принимает функция, а также описание ее действия в разных случаях и конкретные примеры применения. Но, конечно, искать описание каждой нужной функции в html-документации или info-страницах не всегда удобно, тем более, что нужна эта информация, как правило, прямо в процессе работы. Поэтому в Maxima есть специальная функция - describe() , которая выдает информацию из документации по конкретным словам. Более того, специально для удобства получения справочной информации существует сокращенная версия вызова этой функции: ? name вместо describe(name) . Здесь? - это имя оператора, и аргумент нужно отделять от него пробелом (выражение?name используется для вызова функции Lisp с именем name). Функция describe и оператор? выдают список тех разделов помощи и имен функций, которые содержат заданный текст, после чего предлагают ввести номер того раздела или описания той функции, которые вы хотите посмотреть:

Когда вы выберете раздел, будет выдано его содержимое:

Если для слова, которое вы ввели после? или describe , найдено единственное совпадение, его описание будет показано сразу.

Кроме справки, по многим функциям Maxima есть примеры их использования. Пример можно загрузить функцией example() . Вызов этой функции без аргумента отобразит список всех имен доступных примеров; вызов вида example(name) загрузит в текущую сессию и выполнит указанный файл примера:

Решение проблемы с запуском из-под TeXmacs

Если у вас возникли проблемы с запуском Maxima-сессии из TeXmacs, обратите внимание на то, кто у вас в системе выступает под именем /bin/sh . Дело в том, что инициализация всех разнообразных сессий реализована в TeXmacs’е через shell-скрипты, вызываемые именно с помощью /bin/sh . И в скрипте, отвечающем за сессию Maxima, используется возможность, которая не стандартизирована как обязательная для /bin/sh , но присутствует в его эмуляции bash. Другими словами, если у вас /bin/sh является не ссылкой на /bin/bash , а чем-то другим, то именно это может послужить причиной невозможности открыть Maxima-сессию (к примеру, в Debian и основанных на нем дистрибутивах кроме bash ссылку /bin/sh на себя может захотеть поставить еще и более легкий dash ; в этом случае восстановить статус-кво можно с помощью dpkg-reconfigure dash). Если сделать /bin/sh ссылкой на /bin/bash не представляется возможным, можете попробовать поменять #!/bin/sh на #!/bin/bash в файле /usr/lib/texmacs/TeXmacs/bin/maxima_detect . Я написал об этой проблеме разработчикам TeXmacs, но еще не получил никакой их реакции, так что не могу пока сказать, будет ли исправлена эта недоработка в ближайших версиях.

Основные принципы

То, что Максима написана на Lisp, человеку, знакомому с этим языком, становится понятно уже в начале работы с программой. Действительно, в Максиме четко прослеживается «лисповский» принцип работы с данными, который оказывается очень кстати в контексте символьной математики и аналитических вычислений. Дело в том, что в Lisp, по большому счету, нет разделения на объекты и данные: имена переменных и выражения могут использоваться практически в одном и том же контексте. В Maxima же это свойство развито еще сильнее: фактически, мы можем использовать любой символ вне зависимости от того, присвоено ли ему какое-то выражение. По умолчанию символ, связанный с любым выражением, будет представлять это выражение; символ, не связанный ни с чем, будет представлять самого себя, трактуемого опять-таки как выражение. Поясним на примере:

Из этого следует, в частности, что в выражение автоматически подставляется значение входящего в него символа только в том случае, если это значение было приписано символу до определения выражения:

Если некоторый символ уже имеет какое-то значение, можем ли мы использовать в выражении сам этот символ, а не его значение? Конечно. Сделать это можно с помощью знака апострофа - введенный перед любым символом или выражением, он предотвращает его вычисление:

Результат выражения %i12 был бы аналогичен и в том случае, если бы b и y не имели на тот момент никаких значений; таким образом, мы можем смело блокировать вычисление символа, даже не запоминая (или не зная), присвоены ли им вообще какие-то выражения.

Точно так же можно поступить с любой встроенной функцией, если мы хотим не выполнить ее, а использовать в своем математическом контексте. Например, уже упомянутая функция дифференцирования может пригодиться нам для обозначения производной в дифференциальном уравнении; в этом случае, конечно, вычислять ее не надо:

Благодаря описанным особенностям работа в Максиме, с одной стороны, становится во многом похожей на традиционную «ручную» работу с математическими формулами, что практически сводит на нет психологический барьер в начале работы с программой. С другой стороны, даже на этом начальном этапе вы фактически избавлены от наиболее рутинной ручной работы, вроде отслеживания текущих значений символов, и можете полностью сосредоточиться на самой задаче. Конечно, блокировка вычислений - это не единственный способ влиять на то, как Максима будет вычислять то или иное выражение; этим процессом можно управлять довольно гибко.

Система компьютерной математики Maxima -- настоящий ветеран среди программ этого класса. Она старше многих своих известных коммерческих собратьев по крайней мере на два десятка лет. Первоначально носившая имя Macsyma, она была создана в конце 1960-х годов в знаменитом Массачусетском технологическом институте и почти 20 лет (с 1982 по 2001) поддерживалась Биллом Шелтером (William Schelter), благодаря которому и приобрела свои замечательные качества и известность в научном мире. Подробности по истории системы, инсталляционный модуль (размером всего в 10 MB), документацию, исходный код и другую сопутствующую информацию можно найти на Web-узле пакета . Текущая версия (5.9.0) работает под управлением Windows и Linux.

Несмотря на скромные размеры, Maxima -- высокоинтеллектуальный продукт, способный решать сложные аналитические задачи. Как и большинство систем компьютерной математики, она является командным интерпретатором, взаимодействующим с пользователем по принципу "вопрос -- ответ". Поэтому рабочая область системы представляет собой последовательность ячеек ввода/вывода (рис. 1), маркированных меткой (С -- для ввода пользователя, D -- для результата) и номером. Такой способ обозначения обеспечивает удобный механизм ссылок, позволяющий для обращения к одному из предыдущих результатов ввести только имя нужной ячейки.

Численные операции

Рис. 1

С какими бы выражениями ни работала Maxima, она всегда стремится к представлению результатов в точной аналитической форме. Это в полной мере относится и к численным расчетам. Например, если ввести в командной строке выражение 1/2+1/3 , то результатом будет 5/6 . Для того чтобы получить значение в виде числа с плавающей точкой, необходимо указать это явно. Простейший способ состоит в задании специального дескриптора numer через запятую после введенного выражения.

Для расчетов с высокой точностью Maxima поддерживает специальные операторы, позволяющие вычислить любое значение с произвольной разрядной сеткой (в пределах, естественно, аппаратных возможностей). Это относится и к целым числам: их величина в системе программно не ограничена. К тому же Maxima имеет очень приличную скорость работы с арифметикой высокой точности, что дает возможность проводить вычисления с целыми числами в десятки и сотни тысяч разрядов с производительностью на уровне лучших коммерческих систем.

Отметим, что Maxima взвешенно подходит к регистру вводимых выражений. Если их вид близок к имени встроенной функции, программа использует эту функцию. Согласно данному правилу Sin , sin и SIN обозначают одно и то же. Вместе с тем пользовательские переменные и функции чувствительны к регистру -- X и x могут обозначать разные объекты.

Система также поддерживает комплексную арифметику и ряд известных математических констант.

Аналитические операции

Способность к сложным аналитическим операциям и преобразованиям, безусловно, стала главной чертой продукта, обеспечившей успех Maxima в среде специалистов. Сюда входят стандартные операции анализа (дифференцирование, интегрирование, вычисление пределов), представление выражений в развернутой форме, разложение функций в ряды, упрощения, преобразования, подстановки и т. п. Причем данная функциональность достаточно гибка для проведения серьезных научных исследований. Так, можно находить частные и обыкновенные производные любого порядка, интегралы бывают как обыкновенными, так и кратными, в качестве границ интегрирования допускается бесконечность и т. д. Как всегда, программа будет стремиться представить все вычисленные значения в замкнутой (точной) форме.

В случае если для введенного выражения нельзя получить однозначный результат, программа практически на естественном (английском) языке задаст наводящие вопросы. К примеру, при попытке найти интеграл от функции x n Maxima уточнит, не равно ли n+1 нулю (как известно, от этого существенно зависит результат). Впрочем, таких вопросов можно избежать, если заранее с помощью специальных операторов указать область изменения используемых параметров и переменных.

Аналитический аппарат также поддерживает алгебраические операции с полиномами (деление двух полиномов, вычисление наибольшего общего делителя, разложение на множители) и тригонометрическими выражениями. Для практических приложений большую роль играют заложенные в систему инструменты решения уравнений и систем различных типов -- алгебраических, трансцендентных и дифференциальных.

Операции линейной алгебры

В Maxima реализован весьма совершенный механизм векторно-матричных операций, позволяющий проводить сложные алгебраические вычисления. Матрицы вводятся универсальным оператором matrix , затем к ним применимы обычные линейные операции -- сложение, вычитание, умножение на скаляр (для их записи используют естественную математическую нотацию вроде A+B ), а также транспонирование, обращение, вычисление определителей, спектральных характеристик и пр.

Графические возможности

Современная система компьютерной математики универсального типа обязана обладать развитыми возможностями визуализации данных. Имеются они и в Maxima. Графики в системе строятся с помощью двух функций -- PLOT2D (двумерные, рис. 2) и PLOT3D (трехмерные, рис. 3). Несмотря на этот относительно небогатый выбор, названные инструменты позволяют выводить графики разных типов на плоскости и в пространстве с достаточно тонкими настройками -- посредством специальных операторов или аргументов функций задаются количество узлов сетки, на которой строится требуемый график, диапазоны данных, цветовые и другие характеристики. Кроме того, можно воспользоваться интерактивными настройками для быстрого изменения толщины линий, поворота трехмерной поверхности и т. д. Выбор форматов экспорта Maxima весьма узок: рисунки в программе сохраняются, по сути, только в PostScript. В целом же визуальные инструменты системы относительно скромны, хотя и дают возможность получить качественные графики некоторых типов.

Средства программирования

Как и всякая система компьютерной математики, Maxima позволяет создавать сложные программы и использовать их в задачах, решение которых с помощью командной строки может оказаться сложным и неэффективным.

В самом простом случае пользовательская функция определяется прямо в командной строке

MyFunc(x,y):=x^2+y^2;

Затем MyFunc можно применять наряду со встроенными. Конечно же, система поддерживает и более сложные конструкции. В теле функции допускаются операторы ветвления, циклов, ввода/вывода и т. д. Язык программирования в Maxima имеет некоторые особенности, важнейшей из которых является то, что число аргументов функции не обязано быть фиксированным. Другая состоит в чрезвычайно гибких средствах для работы с массивами, которые редко встретишь не только в традиционных языках, но и специализированных системах, в том числе СКМ. Вот несколько примеров, заимствованных из одного руководства (двоеточие в Maxima означает присваивание):

a:4*u; a:%PI; a[x]:mystery;

Все операторы корректны и задают в совокупности массив, индексами которого служат числа 4 , 22/7 и строка "x" , а значениями элементов -- выражение 4*u , число π (в Maxima оно записывается как %PI) и строка символов "mystery" . Таким образом, как элементом массива, так и его индексом может выступать практически любое выражение. Оригинальные свойства Maxima вовсе не ограничиваются этими особенностями (например, поддерживаются даже массивы функций), но мы не будем останавливаться на деталях.

Вообще, Maxima написана на языке Lisp и непосредственно поддерживает многие его команды. Можно сказать, что Lisp является ядром системы, и к нему допускается обращаться при "низкоуровневом" программировании. Впрочем, в большинстве случаев этого не требуется. Maxima предоставляет достаточное количество уже готовых средств, использовать которые значительно проще, чем Lisp-операторы.

При необходимости программы сохраняются во внешних файлах. Команды записываются в том же виде, в каком они вводятся в систему, имеются лишь некоторые особенности для оформления функций.

Забота о пользователе

Кроме документации, доступной на Web-узле продукта, в комплект поставки входят введение в Maxima и учебник по системе (оба в формате HTML) -- детальное описание, достаточное для углубленного ознакомления со всеми ее возможностями. Однако во время сеанса работы с системой нередко необходимо получить оперативную справку. Для этого Maxima предоставляет функцию DESCRIBE() , которая выводит подробные сведения об интересующем пользователя операторе (который передается ей в качестве аргумента). Не беда, если вы не помните его полный синтаксис, введите несколько первых букв названия -- и Maxima выдаст все доступные имена, начинающиеся с данной комбинации символов. Если же этих сведений окажется недостаточно, то можно воспользоваться функцией EXAMPLE() , которая предложит характерные примеры. К функциям этого же ряда принадлежит DEMO() , выполняющая программы из демонстрационных файлов, поставляемых с системой. Хотелось бы отметить такую особенность системы, как возможность представления результатов вычислений в формате TeX с помощью функции, которая так и называется -- TEX() .

Выводы

Надеемся, что после этого небольшого материала у читателей все же сложилось представление о Maxima как о действительно профессиональной системе, предназначенной для решения сложных численных и аналитических задач, а также графического представления данных. Особенно, как было отмечено вначале, программа сильна в аналитических расчетах и арифметике высокой точности. Конечно, Maxima далеко не совершенна, и по многим аспектам не дотягивает до коммерческих продуктов вроде Maple и Mathematica. Однако это не умаляет ее достоинств -- Maxima вполне можно использовать и в учебных целях, и в качестве платформы для вполне серьезных научных разработок.

0

Похожие статьи