Урок алгебры в 7 классе.
Тема « Вынесение общего множителя за скобки».
Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Цели урока:
Образовательная –
выявить уровень овладения учащимися комплекса знаний и умений по применению навыков умножения и деления степеней;
формировать умение применять разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки;
применять вынесение общего множителя за скобки при решении уравнений.
Развивающая –
способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;
развивать навыки самоконтроля при выполнении заданий.
Воспитательная -
воспитание ответственности, активности, самостоятельности, объективной самооценки.
Тип урока: комбинированный.
Основные результаты обучения:
уметь выносить общий множитель за скобки;
уметь применять данный способ при решении упражнений.
Ход урока.
1 модуль (30 мин).
1. Организационный момент.
приветствие;
подготовка обучающихся к работе.
2. Проверка домашнего задания.
Проверка наличия (дежурные), обсуждение возникших вопросов.
3 . Актуализация опорных знаний.
Н айдите НОД (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55) , (16, 12).
Что такое НОД?
Как выполняется деление степеней с одинаковыми основаниями?
Как выполняется умножение степеней с одинаковыми основаниями?
Для данных степеней (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Назовите степень с наименьшим показателем, одинаковыми основаниями, одинаковыми показателями
Повторим распределительный закон умножения. Запишите его в буквенной форме
а (в + с)= ав + ас
* - знак умножения
Выполнить устные задания на применение распределительного свойства. (Подготовить на доске).
1) 2*(а + в) 4) (х – 6)*5
2) 3*(х – у) 5) -4*(у + 5)
3) а*(4 + х) 6) -2*(в – а)
На закрытой доске записаны задания, ребята решают и записывают на доске результат. Задания на умножения одночлена на многочлен.
Для начала я предлагаю вам пример на умножение одночлена на многочлен:
2 х (х 2 +4 х у – 3)= 2х 3 + 8х 2 у – 6х Не стираем!
Написать правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы.
На доске появляется запись:
Я могу написать это свойство в виде:
В таком виде мы уже использовали запись для простого способа вычисления выражений.
а) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500
Остальные устно, проверить ответы:
е) 55*682 – 45*682 = 6820
ж) 7300*3 + 730*70 = 73000
з) 500*38 – 50*80 = 15000
Какой закон помог вам найти простой способ вычислений? (Распределительный)
Действительно – распределительный закон помогает упрощать выражения.
4 . Постановка цели и темы урока. Устный счет. Отгадайте тему урока.
Работа в парах.
Карточки для пар.
Оказывается, что разложение на множители выражения – это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен.
Рассмотрим тот же самый пример, который решал учащийся, но в обратном порядке. Разложить на множители – значит вынести за скобки общий множитель.
2 х 3 + 8 х 2 у – 6 х = 2 х (х 2 + 4 ху – 3).
Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.
Алгоритм вынесения общего множителя за скобки
Наибольший общий делитель коэффициентов.
Одинаковые буквенные переменные.
Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.
Затем в скобках записывается оставшиеся одночлены многочлена.
Наибольший общий делитель находили в младших класса, общую переменную в наименьшей степени можно сразу увидеть. А чтобы быстро находить оставшийся в скобках многочлен надо потренироваться по номеру №657.
5. Первичное усвоение с проговариванием вслух.
№657 (1 столбик)
2 модуль (30 мин).
1. Итог первой 30-минутки.
А) Какое преобразование называется разложением многочлена на множители?
Б) На каком свойстве основано вынесение общего множителя за скобки?
В) Как выносится общий множитель за скобки?
2. Первичное закрепление.
На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.
1) 2 х 3 – 3 х 2 – х =х (2 х 2 – 3 х).
2) 2 х + 6 = 2 (х + 3).
3) 8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).
4) а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).
5) 4 -2а = – 2 (2 – а).
3. Первичная проверка понимания.
Работа с самопроверкой. 2 чел на обратной стороне
Вынесите общий множитель за скобки:
Устно сделать проверку умножением.
4. Подготовка учащихся к обобщенной деятельности.
Выносим многочленный множитель за скобки (объяснение учителя).
Разложите на множители многочлен .
В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель , который можно вынести за скобки. Итак, получим:
Выражения и являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством 
. Два раза меняем знак!
Разложите на множители многочлен 
Здесь присутствуют противоположные выражения и , воспользовавшись предыдущим тождеством мы получим следующую запись: .
А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки.
В ходе различных математических операций при работе с уравнениями и равенствами часто появляется возможность значительно упростить все действия путем вынесения некоего общего множителя за пределы самого выражения. Это позволяет не только сократить большие группы многочлена, но и упростить сам процесс решения.
Вынесение множителя позволяет также избавиться от лишних действий и оптимизировать процесс вычислений. В данном видеоуроке мы подробно изучим возможности процедуры вынесения. Например, рассмотрим выражение следующего вида:
Нам необходимо его преобразовать так, чтобы при известных значениях всех переменных было легко вычислить значение всего полинома. Положим, а=1, с=2, х=5. Обратим внимание, что у обоих членов многочлена есть общая часть - множитель-переменная х. Она легко выносится за скобки, согласно распределительному закону умножения:
ах + сх = х(а + с)
Для нахождения правой части данного равенства необходимо поделить каждый одночлен исходного полинома на утвержденный общий множитель (в этом случае - х), частное записать алгебраической суммой в скобках, а сам множитель поставить перед ними. Руководствуясь заданными значениями переменных, получаем:
ах + сх = х(а + с) = 5(1 + 2) = 15
В видеоуроке сделан акцент, что вынесение множителя за скобки в представленном примере, сократило количество действий по расчету с трех до двух. В более сложных упражнениях эффект упрощения может быть ещё более значителен. А многие уравнения без применения метода вынесения множителя вообще очень сложно решить.
В общем, вынесение общего множителя за скобки в полиномах именуется процессом разложения многочлена на отдельные множители. При этом используется следующий алгоритм для обработки данных:
- Выделяется рабочая группа выражения (многочлен);
- Осуществляется поиск подходящего множителя, на который можно было бы поделить каждый одночлен;
- Производится деление мономов на выделенный множитель, при этом результаты записываются вместо одночленов, как алгебраическая сумма;
- Получившийся многочлен заключается в скобки, общий множитель ставится перед ними.
При выборе множителя часто возникают проблемы. Во-первых, он должен отвечать максимальному количеству мономов, в идеале - делить все одночлены. Во-вторых, в комплексных задачах необходимо подбирать такой множитель, чтобы он позволял провести решение всего упражнения дальше, облегчая всю процедуру. Как правило, если нет строгого условия извне (в уравнениях, к примеру), то множитель подбирается по принципам: подходящий всем мономам и являющийся наибольшим по степени и коэффициенту при переменной. Иначе говоря, множитель должен включать все переменные, наибольшую возможную степень, а также наибольший кратный числовой коэффициент. Рассмотрим пример:
2х 2 у - 8х 2 у + 4х 2 +4х 3 у 2
Вполне очевидно, что в этом выражении для всех одночленов наиболее приемлемым множителем будет переменная х, взятая во второй степени (максимально допустимой) и с числовым коэффициентом, равным 2, т.е. 2х 2:
2х 2 у - 8х 2 у + 4х 2 +4х 3 у 2 = 2х 2 (у - 4у + 2ху 2) = 2х 2 (2ху 2 - 3у)
Производим действия в скобках, получаем итоговый ответ, представляющий собой произведение многочлена на одночлен-множитель.
Рассмотрим ещё один пример. Необходимо преобразовать выражение вида:
2х(4-у) + х(у-4)
С первого взгляда, тут трудно что-либо вынести за скобки, кроме переменной х, вынесение которой создаст двойные скобки и лишь усложнит многочлен, поэтому данный шаг нецелесообразен. Однако следуя стандартной логике и базовым правилам математического сложения, можно уверенно записать, что:
(у-4) = -(4-у)
Если минус у правого выражения внести внутрь, то все внутренние знаки сменятся на противоположные, образуя выражение, полностью идентичное левой части. Поэтому, корректно будет записать:
2х(4-у) + х(у-4) = 2х(4-у) - х(4- у)
Теперь же оба члена многочлена содержат общий множитель (4- у), который легко вынести за скобки, продолжив дальнейшие вычисления:
2х(4-у) - х(4- у) = (4- у)(2х - х) = (4- у)х = 4х - ух
Последние два этапа расчетов не относятся к общей процедуре вынесения множителя, и являются индивидуальным решением данного примера. Сам процесс вынесения дает нам произведение двух элементарных биномов.
Представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов (или одночленов)
Например,
Вынесение общего множителя за скобки
Необходимо проанализировать каждый член многочлена, найти общую часть (если такая имеется). Например, в выражении каждый член имеет y . Переменную y можно вынести за скобки.
Переменные, входящие в каждый член многочлена выносят за скобки в степенях с наименьшим показателем , который встречается. В примере встречается y 2 , y 5 и y 4 . Выносим за скобки y 2 .
Что останется от каждого члена после вынесения общего множителя за скобки? Что записать в скобках? Необходимо каждый член разделить на общий множитель, который выносим за скобки. Например, при вынесении y 2 за скобки в нашем примере
Если числовые коэффициенты каждого члена многочлена имеют наибольший общий делитель , то его тоже можно вынести за скобки. В нашем примере НОД(18; 30; 6)=6
Если за скобки выносят множитель "-1" (еще говорят "выносят минус"), то в скобках знак каждого слагаемого меняется на противоположный
Общим множителем могут быть и многочлены. Например, для выражения общим множителем является многочлен
Выносим за скобки, получим 
Всегда можно проверить верно ли выполнено вынесение общего множителя за скобки. Для этого необходимо выполнить умножение общего множителя на многочлен в скобках и проверить, что полученное выражение полностью совпадает с первоначальным.
Способ группировки
Если члены многочлена не имеют общего множителя, то следует попытаться разложить его методом группировки.
Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки общий множитель каждой группы. После этого может оказаться общий множитель многочлен у получившихся групп, который выносят за скобки.
Группировать члены многочлена можно по-разному. Не при всякой группировке удастся разложить многочлен на множители.
Разложение многочлена иногда невозможно известными методами. Тогда разложить многочлен возможно, отыскав один корень и
На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.
Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.
Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:
В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.
В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?
Найдём значение выражения: .
В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.
Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .
Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.
Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : 
.
Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .
Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?
Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.
Рассмотрим многочлен 
. Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.
Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: 
.
Рассмотрим ещё один пример: .
Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .
Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.
Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .
В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:
Усложним пример, увеличив количество одночленов:
После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.
Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:
Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.
Общим множителем также может быть искомое значение :
Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.
В этой статье мы остановимся на вынесении за скобки общего множителя . Для начала разберемся, в чем состоит указанное преобразование выражения. Дальше приведем правило вынесения общего множителя за скобки и подробно рассмотрим примеры его применения.
Навигация по странице.
Например, слагаемые в выражении 6·x+4·y имеют общий множитель 2 , который не записан явно. Его можно увидеть лишь после того, как представить число 6 в виде произведения 2·3 , а 4 в виде произведения 2·2 . Итак, 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y) . Еще пример: в выражении x 3 +x 2 +3·x слагаемые имеют общий множитель x , который становится явно виден после замены x 3 на x·x 2 (при этом мы использовали ) и x 2 на x·x . После вынесения его за скобки получим x·(x 2 +x+3) .
Отдельно скажем про вынесение минуса за скобки. Фактически вынесение минуса за скобки означает вынесение за скобки минус единицы. Для примера вынесем за скобки минус в выражении −5−12·x+4·x·y . Исходное выражение можно переписать в виде (−1)·5+(−1)·12·x−(−1)·4·x·y , откуда отчетливо виден общий множитель −1 , который мы и выносим за скобки. В результате придем к выражению (−1)·(5+12·x−4·x·y) , в котором коэффициент −1 заменяется просто минусом перед скобками, в итоге имеем −(5+12·x−4·x·y) . Отсюда хорошо видно, что при вынесении минуса за скобки в скобках остается исходная сумма, в которой изменены знаки всех ее слагаемых на противоположные.
В заключение этой статьи заметим, что вынесение за скобки общего множителя применяется очень широко. Например, с его помощью можно более рационально вычислять значения числовых выражений . Также вынесение за скобки общего множителя позволяет представлять выражения в виде произведения, в частности, на вынесении за скобки основан один из методов разложения многочлена на множители .
Список литературы.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
Похожие статьи
